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第六題在下認為如下：

(a)
令 (a, b, c)=β1α1+β2α2+β3α3 則

(1 0 -1)(β1)=(a)
(0 1 -1)(β2) (b)
(1 -2 0)(β3) (c)

存在唯一解

(β1)=(2 -2 -1)(a)
(β2) (1 -1 -1)(b)
(β3) (1 -2 -1)(c)

得 f(α) = f(β1α1+β2α2+β3α3) = β1f(α1)+β2f(α2)+β3f(α3) = β1-β2+3β3

(b)
V 中任二個元素 f, g 要相等則 f(α)=g(α) 對所有 α 屬於 R^3

若 f(αi)=g(αi), 1≦i≦3 則

 f(α)
=f(β1α1+β2α2+β3α3)
=β1f(α1)+β2f(α2)+β3f(α3)
=β1g(α1)+β2g(α2)+β3g(α3)
=g(β1α1+β2α2+β3α3)
=g(α)

因此 f(αi)=g(αi), 1≦i≦3 → f(α)=g(α) 對所有 α 屬於 R^3

令基底 f1, f2, ..., fk 使得 f = Σci*fi, 1≦i≦k

則 ci, fi, f 有以下關係：

( f1(α1) ... fk(α1) )*(c1, ..., ck)^T = (f(α1), f(α2), f(α3))^T
( f1(α2) ... fk(α2) )
( f1(α3) ... fk(α3) )

抱歉，直的排版會跑所以用 ^T 轉置代替行向量寫法

此系統唯有維度 k=3 以及左邊那個矩陣存在反矩陣時才有唯一解

所以 V 的基底有三個元素，舉例如下：

{ f1: =(1, 0, 1)=>1, (0, 1, -2)=>0, (-1, -1, 0)=>0
{ f2: =(1, 0, 1)=>0, (0, 1, -2)=>1, (-1, -1, 0)=>0
{ f3: =(1, 0, 1)=>0, (0, 1, -2)=>0, (-1, -1, 0)=>1

希望如上回答對您有幫助！